[latexpage]
ถ้าพูดถึง “เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย” ในวิชาคณิตศาสตร์ ม.4 น้อง ๆ หลายคนอาจรู้สึกว่าบทนี้เป็นเรื่องที่ซับซ้อนและเข้าใจยาก แต่ความจริงแล้ว เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยคือหนึ่งในหัวข้อสำคัญที่เป็นพื้นฐานสำคัญของการเรียนรู้ในระดับสูงขึ้นในอนาคต
วันนี้ “พี่ภูมิ – อ.สิทธิเดช เลนุกูล” มี สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.4 บทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย พร้อมตัวอย่างข้อสอบคณิตศาสตร์และเฉลยละเอียด มาแจกให้น้อง ๆ เรียนรู้และอ่านทบทวนก่อนสอบ ถ้าอยากรู้ว่าบทนี้จะได้เรียนเกี่ยวกับอะไรบ้าง รีบตามมาดูพร้อมกันเลย!!
เรขาคณิตวิเคราะห์ ม.4
เรขาคณิตวิเคราะห์ เป็นเรื่องที่สำคัญมากในวิชาคณิตศาสตร์ เพราะมันช่วยเชื่อมโยงความรู้ระหว่างพีชคณิตและเรขาคณิตเข้าด้วยกัน โดยใช้พีชคณิตมาช่วยในการศึกษาและวิเคราะห์รูปทรงต่าง ๆ ในเรขาคณิต โดยการเรียนเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ น้อง ๆ จะต้องทำสิ่งเหล่านี้ให้เป็นครับ
- หาระยะทางระหว่างจุดสองจุด และหาจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง
- หาความชันของเส้นตรง และใช้ความชันในการอธิบายเกี่ยวกับเส้นขนานและเส้นตั้งฉาก
- เขียนกราฟและหาสมการเส้นตรงได้
- หาระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุดและเส้นคู่ขนานได้
- เขียนกราฟ หาส่วนประกอบ และหาสมการวงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลาได้
ซึ่งก่อนที่จะเรียนเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ในวิชาคณิตศาสตร์ระดับ ม.ปลาย น้อง ๆ ควรทบทวนพื้นฐานในเรื่องเรขาคณิต ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมการเชิงเส้นสองตัวแปร พาราโบลา และการแยกตัวประกอบของพหุนาม ของระดับ ม.ต้น มาก่อน
ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด
ให้ $P_1(x_1 , y_1)$ และ $P_2(x_2 , y_2)$ เป็นจุดในระนาบ
ระยะห่างระหว่างจุด $P_1(x_1 , y_1)$ และ $P_2(x_2 , y_2)$ หาได้จาก $d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$
และจะเห็นว่า
ถ้า $x_1 = x_2$ แล้วจุดทั้งสองอยู่ในแนวเส้นตรงที่ขนานกับแกน y (อยู่บนเส้นตั้ง)
จึงได้ว่า ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสอง = |$y_1 – y_2$|
ถ้า $y_1 = y_2$ แล้วจุดทั้งสองอยู่ในแนวเส้นตรงที่ขนานกับแกน x (อยู่บนเส้นนอน)
จึงได้ว่า ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสอง = |$x_1 – x_2$|
จุดแบ่งภายในส่วนของเส้นตรง
กำหนดจุด $P_1(x_1 , y_1)$ และ $P_2(x_2 , y_2)$ ถ้าจุด $P(x , y)$ เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง $P_1 P_2$ แล้ว
จุดตัดของเส้นมัธยฐาน (centroid) ของรูปสามเหลี่ยม
จากรูป $P$ เป็นจุดตัดของเส้นมัธยฐานทั้งสามเส้น
จะได้ว่า $P(\frac{์x_1 + x_2 + x_3}{3} , \frac{์y_1 + y_2 + y_3}{3})$
การหาพื้นที่รูป n เหลี่ยมใด ๆ
ความชันของเส้นตรง (slope)
ให้ $l$ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด $P_1(x_1 , y_1)$ และ $P_2(x_2 , y_2)$ โดยที่ $x_1 \neq x_2$
ความชันของเส้นตรง $l$ คือ $m = \frac{์y_1 – y_2}{x_1 – x_2}$
เส้นตรงสองเส้นที่ขนานกัน
เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกน $Y$ จะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ความชันของเส้นตรงทั้งสองเท่ากัน
สรุป $l_1$ ขนานกับ $l_2$ เมื่อ $m_1 = m_2$
เส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกัน
เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกน $Y$ จะตั้งฉากกัน ก็ต่อเมื่อ ผลคูณของความชันของเส้นตรงทั้งสองเท่ากับ −1
สรุป $l_1$ ตั้งฉากกับ $l_2$ เมื่อ $m_1 m_2 = -1$
สมการเส้นตรง (straight line)
สมการตั้งต้น
จากรูป สมมติให้เส้นตรงผ่านจุด $(x_1 , y_1)$ และจุด $(x , y)$ เป็นจุดใด ๆ บนกราฟเส้นตรง ดังรูป
จากรูป ความชัน $(m) = \frac{์y – y_1}{x – x_1}$
จะได้ว่า $y – y_1 = m(x – x_1)$ (เป็นสมการตั้งต้นสำหรับการสร้างสมการกราฟเส้นตรง)
สมการรูปมาตรฐาน
สมการเส้นตรงที่เขียนในรูป $y = mx + c$ ซึ่ง $m$ แทนความชันของเส้นตรง
และ $c$ เป็นค่าตัดแกน $y$ เรียกว่า สมการเส้นตรงในรูปมาตรฐาน
สมการรูปทั่วไป
สมการเส้นตรงที่เขียนในรูป $Ax + By + C = 0$ โดยที่ $A , B$ และ $C$ เป็นค่าคงที่ และ $A$ และ $B$ ไม่เท่ากับ 0 พร้อมกัน เรียกว่า สมการเส้นตรงในรูปทั่วไป
ถ้าเส้นตรงตัดแกน $X$ ที่จุด $(a , 0)$ จะเรียก $a$ ว่า ระยะตัดแกน $X$
และถ้าเส้นตรงตัดแกน $Y$ ที่จุด $(0 , b)$ จะเรียก $b$ ว่า ระยะตัดแกน $Y$
*** ระยะตัดแกน $X$ และระยะตัดแกน $Y$ เป็นได้ทั้งจำนวนบวก จำนวนลบ และศูนย์
ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง
การหาระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรงเป็นหัวข้อสำคัญในเรขาคณิตวิเคราะห์ ซึ่งสูตรในการหาระยะห่างระหว่างเส้นตรง $Ax + By + C = 0$ กับจุด $(x_1 , y_1)$ เมื่อ $A , B$ และ $C$ เป็นค่าคงตัว
โดยที่ $A$ และ $B$ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
คือ $d = \frac{์|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
ระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน
เมื่อเรามีเส้นตรงสองเส้นที่ขนานกัน สมการของเส้นตรงทั้งสองมีรูปแบบดังนี้
- เส้นตรงแรก : $Ax + By + C_1 = 0$
- เส้นตรงที่สอง : $Ax + By + C_2 = 0$
เส้นตรงทั้งสองเส้นมีความชันเท่ากันเท่ากับ $-\frac{์A}{B}$ ดังนั้น ทั้งสองเส้นเป็นเส้นตรงที่ขนานกัน
จะได้ว่า ระยะห่างระหว่างเส้นตรงทั้งสอง $(d) = \frac{์|C_1 – C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
ภาคตัดกรวย ม.4
หลังจากได้เรียนรู้เรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์กันไปแล้ว คราวนี้ตามพี่มาทำความรู้จักกับ ภาคตัดกรวย ต่อได้เลยครับ
โดย ภาคตัดกรวย คือ รูปในระนาบที่เกิดจากการตัดกันของระนาบกับกรวย โดยรอยตัดของระนาบและกรวยทำให้เกิดกราฟ 4 แบบ ดังนี้
1. วงกลม
วงกลม คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่ห่างจากจุด ๆ หนึ่งที่ตรึงอยู่กับที่เป็นระยะทางคงตัว จุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้ เรียกว่า “จุดศูนย์กลางของวงกลม” และส่วนของเส้นตรงที่มีจุดศูนย์กลางและจุดบนวงกลมเป็นจุดปลาย เรียกว่า “รัศมีของวงกลม”
สมการวงกลม
จากนิยามจะได้สมการวงกลม 2 รูปแบบ คือ รูปแบบมาตรฐาน และ รูปแบบทั่วไป
1. สมการวงกลมรูปแบบมาตรฐาน
$(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$
เมื่อ $(h , k)$ เป็นจุดศูนย์กลาง และ $r$ เป็นรัศมี
2. สมการวงกลมรูปแบบทั่วไป
$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
จุดศูนย์กลาง = $(-\frac{A}{2} , -\frac{B}{2})$
$r$ = $\frac{1}{2}{\sqrt{A^2 + B^2 – 4C}}$
หรือ $r$ = $\sqrt{h^2 + k^2 – C}$
2. พาราโบลา
พาราโบลา คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งห่างจากจุดที่ตรึงอยู่กับที่จุดหนึ่งและเส้นตรงที่ตรึงอยู่กับที่เส้นหนึ่งเป็นระยะทางเท่ากัน จุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้ เรียกว่า “โฟกัสของพาราโบลา” และเส้นตรงที่ตรึงอยู่กับที่นี้ เรียกว่า “เส้นบังคับ” หรือ “ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา”
จากนิยามได้ว่า $PF =$ ระยะจากจุด $P$ ไปยังไดเรกตริกซ์
จากรูปจะได้ $PF = PA$ และ $QF = QB$
$F$ เรียกว่า จุดโฟกัส (Focus)
$V$ เรียกว่า จุดยอด (Vertex)
$S$ เรียกว่า แกนสมมาตร (Symmetric axis)
$di$ เรียกว่า เส้นไดเรกตริกซ์ (Directrix)
เลตัสเรกตัม (latus rectum) คือ คอร์ดที่ตั้งฉากกับแกนของพาราโบลาและผ่านโฟกัสของพาราโบลา (ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนพาราโบลา เรียกว่า “คอร์ดของพาราโบลา”) มีความยาวเท่ากับ $|4p|$
สมการพาราโบลา
3. วงรี
วงรี คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ ในเซตนั้นไปยังจุดที่ตรึงอยู่กับที่สองจุดมีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวนี้ต้องมากกว่าระยะห่างระหว่างจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสองจุด เรียกจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสองจุดนี้ว่า “โฟกัสของวงรี”
จากรูป $\overline{\hbox{{V_1 V_2}}}$ คือ แกนเอก (major axis) ของวงรี
โดย แกนเอกจะยาวเท่ากับ $2a$ หน่วย
$\overline{\hbox{{B_1 B_2}}}$ คือ แกนโท (minor axis) ของวงรี
โดย แกนโทจะยาวเท่ากับ $2b$ หน่วย
❤ จากนิยาม
$PF_1 + PF_2 = 2a =$ ความยาวแกนนอก
แกนเอกยาวที่สุด → $a > b , c$ เสมอ
ความสัมพันธ์ระหว่าง $a , b , c$
$a^2 = b^2 + c^2$
ความยาวของลาตัสเรกตัม $=\frac{2b^2}{a}$
ความเยื้องศูนย์กลาง
ความเยื้องศูนย์กลาง $(e) = \frac{c}{a}$
โดยที่ $0 < e < 1$
ถ้า $e$ มีค่าใกล้ 1 หรือ $c$ มีค่าเกือบจะเท่ากับ $a$ แล้ววงรีมีความรีมาก (มีรูปร่างเรียวยาว)
แต่ถ้า $e$ มีค่าใกล้ 0 แล้ววงรีมีความรีน้อย (รูปร่างใกล้เคียงกับวงกลม)
สมการวงรีในรูปมาตรฐาน
4. ไฮเพอร์โบลา
ไฮเพอร์โบลา คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสองจุดมีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวนี้ต้องน้อยกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสองจุด เรียกจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสองจุดนี้ว่า “โฟกัสของไฮเพอร์โบลา”
จากรูป ไฮเพอร์โบลาจะประกอบด้วยเส้นโค้ง 2 เส้น แต่ละเส้นเรียกว่า กิ่ง (branch)
$\overline{\hbox{{V_1 V_2}}}$ คือ แกนตามขวาง (transverse axis) ของไฮเพอร์โบลา โดย แกนตามขวาง จะยาวเท่ากับ $2a$ หน่วย
$\overline{\hbox{{B_1 B_2}}}$ คือ แกนสังยุค (conjugate axis) ของไฮเพอร์โบลา โดย แกนสังยุค จะยาวเท่ากับ $2b$ หน่วย
❤ จากนิยาม
$|PF_1 – PF_2| = 2a =$ ความยาวแกนตามขวาง
เนื่องจาก $c > a , b$ เสมอ
ความสัมพันธ์ระหว่าง $a , b , c$
$c^2 = a^2 + b^2$
ความยาวของลาตัสเรกตัม $=\frac{2b^2}{a}$
สมการไฮเพอร์โบลาในรูปมาตรฐาน
เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา (Asymptotes)
❤ 2 ขั้นง่าย ๆ สร้างเส้นกำกับไฮเพอร์โบลา (Asymptotes)
ขั้นที่ 1 สร้าง สี่เหลี่ยมมุมฉากศูนย์กลาง เป็นสี่เหลี่ยมที่มีด้านกว้าง , ยาวเท่ากับความยาวแกนตามขวางและแกนสังยุค กล่าวคือ เป็นสี่เหลี่ยมที่ครอบแกนตามขวางแลtแกนสังยุค ที่จุดศูนย์กลางไฮเพอร์โบลา
ขั้นที่ 2 ลาก เส้นกำกับ โดยเส้นกำกับ คือ เส้นตรงที่เป็นเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากศูนย์กลาง และเส้นกำกับจะตัดกันที่จุดศูนย์กลางไฮเพอร์โบลาเสมอ
ตัวอย่างข้อสอบคณิตศาสตร์ พร้อมเฉลย - เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย
สำหรับน้อง ๆ ที่อยากจะได้แนวข้อสอบคณิตศาสตร์ไปฝึกซ้อมก่อนลงสนามสอบจริง พี่มี ข้อสอบคณิตศาสตร์ บทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย พร้อมเฉลยละเอียด มาฝากด้วยครับ จัดโจทย์ให้หลากหลายสนามสอบ ทั้งข้อสอบ Midterm / Final และข้อสอบสอบเข้ามหาวิทยาลัย อย่างข้อสอบคณิต 1 วิชาสามัญ และข้อสอบ A-Level คณิต เราไปฝึกทำโจทย์พร้อมกันเลยดีกว่า!!
ข้อสอบคณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย พร้อมเฉลย ข้อที่ 1
ข้อสอบคณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย พร้อมเฉลย ข้อที่ 2
ข้อสอบคณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย พร้อมเฉลย ข้อที่ 3
ข้อสอบคณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย พร้อมเฉลย ข้อที่ 4
ข้อสอบคณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย พร้อมเฉลย ข้อที่ 5
คำถามที่พบบ่อย (FAQ)
เกี่ยวกับ "เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย"
สำหรับบทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ม.4 ก่อนที่จะเรียนเรื่องนี้ พี่แนะนำว่าน้อง ๆ ควรทบทวนพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.ต้น ในเรื่องเรขาคณิต ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมการเชิงเส้นสองตัวแปร พาราโบลา และการแยกตัวประกอบของพหุนามมาก่อน
ซึ่งบทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย จะเชื่อมโยงไปยังอีกหลาย ๆ บทในคณิตศาสตร์ ม.ปลาย เช่น ฟังก์ชัน จำนวนเชิงซ้อน แคลคูลัส เป็นต้น และบทนี้ยังเป็นพื้นฐานสำคัญในการวาดกราฟด้วยครับ
น้อง ๆ ควรฝึกวาดรูปเยอะ ๆ ครับ บทนี้ไม่ได้มีแค่เรื่องของการคิดเลข หรือแค่จำสูตรได้เท่านั้น แต่เราจะต้องใช้กราฟมาช่วยในการแก้โจทย์ด้วย ดังนั้น ถ้าอยากจะเรียนเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยให้เข้าใจและเห็นภาพ ต้องฝึกวาดกราฟ วาดรูปเยอะ ๆ และคิดตาม จะทำให้บทนี้เป็นเสมือนขนมหวานของน้อง ๆ เลยก็ว่าได้ครับ
จริงครับ! เพราะบทนี้มีรูปกราฟเยอะ มีสูตรและสมการเยอะ มีส่วนประกอบกราฟที่ต้องเข้าใจและหาให้ได้หลายส่วนประกอบ ซึ่งถ้าเรารู้เทคนิคการจำ เทคนิคในการทำความเข้าใจ และเทคนิคในการทำโจทย์ ความคิดที่ว่าบทนี้ยากก็จะเปลี่ยนไปทันที และน้อง ๆ จะสามารถก้าวผ่านบทนี้ไปได้อย่างแน่นอน (ลองมาเจอกันในคอร์สได้ครับน้อง ๆ ^^)
สำหรับข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 หลัง ๆ มานี้ ข้อสอบจะออกแบบตรงไปตรงมา ประมาณ 2 – 3 ข้อ ขอแค่น้อง ๆ จัดรูปสมการที่โจทย์ให้มาให้อยู่ในรูปมาตรฐานได้ และวิเคราะห์ส่วนประกอบของกราฟจากสมการได้ ก็จะสามารถทำข้อสอบ A-Level ได้แน่นอน
ส่วนข้อสอบคณิตศาสตร์ บทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ที่ออกสอบในสนามแข่งขันต่าง ๆ หรือข้อสอบในโรงเรียน น้อง ๆ จะต้องเข้าใจสมการและวาดกราฟเป็นครับ เพราะบ่อยครั้งที่อาจารย์มักจะชอบหยิบกราฟหลาย ๆ แบบมาผสมกันในข้อเดียว (ห้อง Gifted หลาย ๆ โรงเรียนชอบเล่นแนวนี้!!)
หวังว่า สรุปเนื้อหาเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ม.ปลาย ที่พี่นำมาแจกให้ได้อ่านกันในวันนี้ จะช่วยให้น้อง ๆ มีความเข้าใจทั้งในเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยมากขึ้นนะครับ
สำหรับน้องคนไหนที่กำลังเรียนเรื่องนี้อยู่ แล้วรู้สึกว่ามันยาก เรียนไม่เข้าใจ แก้โจทย์ไม่เป็น ก็มาเจอกันใน คอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย บทย่อย – เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ได้เลย เพราะพี่จะสอนแบบปูพื้นฐานให้แน่น สรุปเนื้อหากระชับเข้าใจง่าย มีโจทย์หลากหลายแนวให้ได้ฝึกฝนจนชำนาญ พร้อมสอนเทคนิคทริกลัดที่ช่วยให้แก้โจทย์ไว ใช้ทำข้อสอบได้จริง ใครอยากคว้าเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ หรือไม่อยากพลาดคะแนนสนามสอบสำคัญ รีบมาสมัครเรียนกันเลยครับ!!
ใครอยากเก่งคณิต อยากได้โจทย์และเทคนิคดี ๆ จากพี่ ๆ ติวเตอร์ WE MATH รีบกดติดตามก่อนใครได้ที่ช่องทางด้านล่างนี้เลย!
- Facebook Page : WE BY THE BRAIN
- Instagram : webythebrain
- Youtube : WE BY THE BRAIN
- Tiktok : คณิต เดอะเบรน
- Lemon8 : คณิต เดอะเบรน
อ.สิทธิเดช เลนุกูล (พี่ภูมิ)
มีความเชี่ยวชาญในการสอนโจทย์คณิตศาสตร์ระดับยาก
ที่คัดสรรจากสนามสอบชั้นนำทั้งในและต่างประเทศ
