สรุปเนื้อหา เวกเตอร์ ม.5 แจกฟรี! แนวข้อสอบ TCAS พร้อมเฉลยละเอียด

หน้าหลัก » article » สรุปเนื้อหา เวกเตอร์ ม.5 แจกฟรี! แนวข้อสอบ TCAS พร้อมเฉลยละเอียด

November 22, 2024

[latexpage]

เวกเตอร์ ม.5 ถือเป็นบทขนาดกลางและมีความยากระดับปานกลาง ใน คณิตศาสตร์ ม.ปลาย ซึ่งที่ผ่านมาข้อสอบสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ จะออกบทนี้ทุกปี ปีละ 2 ข้อครับ

เนื้อหาบทเวกเตอร์นี้ จะพูดถึงทั้งเวกเตอร์ 2 มิติ และเวกเตอร์ 3 มิติ โดยหัวข้อหลัก ๆ ที่น้องต้องทำความเข้าใจ “พี่เอ๋ – อ.วิเศษ กี่สุขพันธ์” สรุปมาให้เป็น 3 หัวข้อดังนี้

ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ เช่น นิยามต่าง ๆ, การบวกลบเวกเตอร์, การเท่ากันของเวกเตอร์, การสร้างเวกเตอร์, เวกเตอร์ 1 หน่วย, การขนานกันและตั้งฉากกันของเวกเตอร์ เป็นต้น
ผลคูณเชิงสเกลาร์ (Scalar product or Dot product)
ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (Cross product) และการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม ตลอดจนปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พูดง่าย ๆ ว่า ถ้าบทนี้น้อง ๆ เข้าใจนิยามและความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์, Dot เวกเตอร์ได้ และ Cross เวกเตอร์เป็น น้องก็จะเก็บคะแนนบทนี้ได้ไม่ยากเลย

วันนี้พี่เอ๋มี สรุปเนื้อหาเวกเตอร์ ม.5 มาแจกให้น้อง ๆ ได้อ่านทวนก่อนสอบ โดยสรุปให้ครบถ้วนทั้งหัวข้อและสูตรสำคัญ พร้อมตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและเฉลยละเอียด ตามมาดูกันเลยครับ 😁

ความรู้พื้นฐานที่ควรทราบเกี่ยวกับเวกเตอร์

เริ่มต้นบทเวกเตอร์ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 น้อง ๆ จะได้เรียนเรื่อง ความรู้พื้นฐานที่ควรทราบเกี่ยวกับเวกเตอร์ ครับ

• ปริมาณเวกเตอร์ (vector quantity)

ปริมาณเวกเตอร์ คือ ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เมื่อต้องกล่าวถึงปริมาณเวกเตอร์จะต้องระบุทั้งขนาดและทิศทางจึงจะได้ความหมายที่ชัดเจน เช่น แรง, การกระจัด, น้ำหนัก, ความเร็ว, ความเร่ง เป็นต้น

ปริมาณเวกเตอร์ หรือเรียกสั้นๆ ว่า เวกเตอร์ จะแทนด้วย ส่วนของเส้นตรงที่มีหัวลูกศร (directed segment) โดย ความยาว ของส่วนของเส้นตรงบอกถึง ขนาดของเวกเตอร์ และ หัวลูกศร บอกถึง ทิศทางของเวกเตอร์

จากรูปจะแสดงเวกเตอร์จาก A ไป B อ่านว่า เวกเตอร์ เอบี เขียนแทนด้วย $\overrightarrow{AB}$ , $\overset{\rightharpoonup}{AB}$ , $\overline{\hbox{{AB}}}$ หรืออาจใช้สัญลักษณ์อื่นแทน เช่น $\overline{\hbox{{u}}}$

โดยเรียก A ว่า จุดเริ่มต้น (initial point) ของเวกเตอร์
และเรียก B ว่า จุดสิ้นสุด (terminal point) ของเวกเตอร์

• ขนาดของเวกเตอร์

ขนาดเวกเตอร์ คือ ความยาวของเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย |$\overline{\hbox{{AB}}}$| หรือ |$\overline{\hbox{{u}}}$|

• เวกเตอร์ศูนย์

เวกเตอร์ศูนย์ (zero vector) คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นศูนย์ เขียนแทนด้วย $\overline{\hbox{{0}}}$ หรือ $\overset{\rightharpoonup}{0}$ (จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุดเดียวกัน)

**โดยทั่วไปจะไม่กล่าวถึงทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์**

• เวกเตอร์ที่ขนานกัน

$\overline{\hbox{{u}}}$ และ $\overline{\hbox{{v}}}$ ที่เป็นเวกเตอร์ขนานกัน จะแบ่งได้ 2 กรณี คือ

1) เวกเตอร์ทั้งสองมีทิศเดียวกัน

2) เวกเตอร์ทั้งสองมีทิศตรงข้าม

$\overline{\hbox{{u}}}$ ขนานกับ $\overline{\hbox{{v}}}$ เขียนแทนด้วย $\overline{\hbox{{u}}}$ // $\overline{\hbox{{v}}}$

• เวกเตอร์ที่เท่ากัน

$\overline{\hbox{{u}}}$ เท่ากับ $\overline{\hbox{{v}}}$ ก็ต่อเมื่อ เวกเตอร์ทั้งสองมีขนาดเท่ากันและมีทิศทางเดียวกัน ดังรูป

จากรูป $\overline{\hbox{{u}}}$ และ $\overline{\hbox{{v}}}$ มีทิศเดียวกันและ |$\overline{\hbox{{u}}}$| = |$\overline{\hbox{{v}}}$| เขียนแทนด้วย $\overline{\hbox{{u}}}$ = $\overline{\hbox{{v}}}$

❤︎ ขนาดเท่ากัน ทิศเดียวกัน

• นิเสธของเวกเตอร์

นิเสธของ $\overline{\hbox{{u}}}$ คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับขนาดของ $\overline{\hbox{{u}}}$ แต่มีทิศทางตรงข้ามกับทิศทางของ $\overline{\hbox{{u}}}$ เขียนแทนด้วย -$\overline{\hbox{{u}}}$ ดังรูป

จากรูป นิเสธของ $\overline{\hbox{{u}}}$ คือ -$\overline{\hbox{{u}}}$ , นิเสธของ $\overline{\hbox{{AB}}}$ = -$\overline{\hbox{{AB}}}$ = $\overline{\hbox{{BA}}}$

❤︎ ขนาดเท่า ทิศตรงข้าม

• การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

ให้ a เป็นสเกลาร์ และ $\overline{\hbox{{u}}}$ เป็นเวกเตอร์ ผลคูณของเวกเตอร์ $\overline{\hbox{{u}}}$ กับสเกลาร์ a เขียนแทนด้วย a$\overline{\hbox{{u}}}$ โดยที่

ถ้า a = 0 แล้ว a$\overline{\hbox{{u}}}$ = $\overline{\hbox{{0}}}$
ถ้า a > 0 แล้ว a$\overline{\hbox{{u}}}$ จะมีขนาดเท่ากับ |a||$\overline{\hbox{{u}}}$| และมีทิศเดียวกับ $\overline{\hbox{{u}}}$
ถ้า a < 0 แล้ว a$\overline{\hbox{{u}}}$ จะมีขนาดเท่ากับ |a||$\overline{\hbox{{u}}}$| แต่มีทิศตรงข้ามกับ $\overline{\hbox{{u}}}$

• สมบัติการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

ให้ $\overline{\hbox{{u}}}$ และ $\overline{\hbox{{v}}}$ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระนาบ a และ b เป็นจำนวนจริง (สเกลาร์)

การบวกเวกเตอร์

หัวข้อต่อมาในคณิตศาสตร์ ม.ปลาย บทเวกเตอร์ น้อง ๆ จะได้เรียนเรื่อง การบวกเวกเตอร์ ครับ ไม่ว่าจะเป็นการบวกเวกเตอร์แบบต่าง ๆ รวมถึงสมบัติการบวกเวกเตอร์ที่น้อง ๆ ต้องรู้

• การบวกเวกเตอร์แบบหางต่อหัว

ให้ยึดหลัก “ หางต่อหัว ลากเส้นปิด ทิศลัพธ์อยู่ที่หัว ”

❤︎ ข้อสังเกต
จะเห็นว่า $\overline{\hbox{{u}}}$ + $\overline{\hbox{{v}}}$ = $\overline{\hbox{{v}}}$ + $\overline{\hbox{{u}}}$
แสดงว่า การบวกกันของเวกเตอร์สามารถสลับที่ได้

• การบวกเวกเตอร์แบบหางต่อหาง

ให้ยึดหลัก “ หางต่อหาง สร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน เวกเตอร์ลัพธ์ทแยงมุมผ่ากลาง ”

• สมบัติการบวกเวกเตอร์

ให้ $\overline{\hbox{{u}}}$ , $\overline{\hbox{{v}}}$ และ $\overline{\hbox{{w}}}$ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระนาบ

$\overline{\hbox{{u}}}$ + $\overline{\hbox{{v}}}$ เป็นเวกเตอร์ในระนาบ (สมบัติปิด)
$\overline{\hbox{{u}}}$ + $\overline{\hbox{{v}}}$ = $\overline{\hbox{{v}}}$ + $\overline{\hbox{{u}}}$ (สมบัติการสลับที่)
$\overline{\hbox{{u}}}$ + ($\overline{\hbox{{v}}}$ + $\overline{\hbox{{w}}}$) = ($\overline{\hbox{{u}}}$ + $\overline{\hbox{{v}}}$) + $\overline{\hbox{{w}}}$ (สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้)
$\overline{\hbox{{0}}}$ + $\overline{\hbox{{u}}}$ = $\overline{\hbox{{u}}}$ + $\overline{\hbox{{0}}}$ = $\overline{\hbox{{u}}}$ (สมบัติการมีเอกลักษณ์)
$\overline{\hbox{{u}}}$ + (-$\overline{\hbox{{u}}}$) = (-$\overline{\hbox{{u}}}$) + $\overline{\hbox{{u}}}$ = $\overline{\hbox{{0}}}$ (สมบัติการมีอินเวอร์ส)
ถ้า $\overline{\hbox{{u}}}$ = $\overline{\hbox{{v}}}$ แล้ว $\overline{\hbox{{w}}}$ + $\overline{\hbox{{u}}}$ = $\overline{\hbox{{w}}}$ + $\overline{\hbox{{v}}}$ (สมบัติการบวกด้วยเวกเตอร์ที่เท่ากัน)

การลบเวกเตอร์

พอเรียนเรื่องการบวกเวกเตอร์แล้ว หัวข้อต่อมาที่น้อง ๆ จะได้เจอในบทนี้ก็คือ การลบเวกเตอร์ แบบต่าง ๆ ครับ

• การลบเวกเตอร์แบบกลับทิศตัวติดลบ

ให้ยึดหลัก “ การลบเวกเตอร์ คือ การบวกเวกเตอร์ แต่กลับทิศตัวติดลบ ”

• การลบเวกเตอร์แบบหางต่อหาง

ให้ยึดหลัก “ หางต่อหาง ลากเส้นปิด ทิศลัพธ์อยู่ที่ตัวตั้ง ”

Concept สำคัญที่ต้องรู้ในเรื่องเวกเตอร์

สำหรับ $\overline{\hbox{{u}}}$ และ $\overline{\hbox{{v}}}$ ที่ต่างไม่เท่ากับ $\overline{\hbox{{0}}}$ , $\overline{\hbox{{u}}}$ // $\overline{\hbox{{v}}}$ ก็ต่อเมื่อ
มีจำนวนจริง a ที่ไม่เท่ากับศูนย์ ที่ทำให้ $\overline{\hbox{{u}}}$ = a$\overline{\hbox{{v}}}$

โดย a > 0 เมื่อ $\overline{\hbox{{u}}}$ มีทิศเดียวกับ $\overline{\hbox{{v}}}$
a < 0 เมื่อ $\overline{\hbox{{u}}}$ มีทิศตรงข้าม $\overline{\hbox{{v}}}$

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยใน 2 มิติ และ 3 มิติ

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) คือ เวกเตอร์ที่มีขนาด 1 หน่วย เมื่อต้องการหาเวกเตอร์ที่มีขนาด 1 หน่วย และมีทิศเดียวกันกับ $\overline{\hbox{{u}}}$

จะสามารถหาได้จาก เวกเตอร์หนึ่งหน่วยทิศเดียวกับ $\overline{\hbox{{u}}}$ = $\hat{u}$ = $\frac{\overline{\hbox{{#u}}}}{|\overline{\hbox{{#u}}}|}$

และเมื่อต้องการหาเวกเตอร์ที่ขนานกับเวกเตอร์ $\overline{\hbox{{u}}}$ และมีขนาดตามที่ต้องการ
เช่น เวกเตอร์ที่มีขนาด 3 หน่วย มีทิศเดียวกันกับ $\overline{\hbox{{u}}}$
จะได้ว่า เวกเตอร์ดังกล่าว คือ 3$\frac{\overline{\hbox{{#u}}}}{|\overline{\hbox{{#u}}}|}$

หากต้องการเวกเตอร์ที่มีขนาด 5 หน่วย มีทิศตรงกันข้ามกับ $\overline{\hbox{{u}}}$
จะได้ว่า เวกเตอร์ดังกล่าว คือ -5$\frac{\overline{\hbox{{#u}}}}{|\overline{\hbox{{#u}}}|}$

แสดงว่า

เวกเตอร์ 2 หน่วยทิศเดียวกับ $\overline{\hbox{{#u}}}$ คือ 2$\frac{\overline{\hbox{{#u}}}}{|\overline{\hbox{{#u}}}|}$

เวกเตอร์ 3 หน่วยทิศเดียวกับ u คือ $\overline{\hbox{{#u}}}$ คือ 3$\frac{\overline{\hbox{{#u}}}}{|\overline{\hbox{{#u}}}|}$

$\vdots\\{}$

เวกเตอร์ a หน่วยทิศเดียวกับ $\overline{\hbox{{#u}}}$ คือ a$\frac{\overline{\hbox{{#u}}}}{|\overline{\hbox{{#u}}}|}$

เวกเตอร์ 1 หน่วยทิศเดียวกับ $\overline{\hbox{{#u}}}$ คือ – $\frac{\overline{\hbox{{#u}}}}{|\overline{\hbox{{#u}}}|}$

เวกเตอร์ 2 หน่วยทิศเดียวกับ $\overline{\hbox{{#u}}}$ คือ – 2$\frac{\overline{\hbox{{#u}}}}{|\overline{\hbox{{#u}}}|}$

$\vdots\\{}$

เวกเตอร์ a หน่วยทิศเดียวกับ $\overline{\hbox{{#u}}}$ คือ – a$\frac{\overline{\hbox{{#u}}}}{|\overline{\hbox{{#u}}}|}$

• เวกเตอร์ 1 หน่วยตามแนวแกน x, y และ z

$\overline{\hbox{{i}}}$ คือ เวกเตอร์ 1 หน่วย ชี้ไปตามแกน + x
$\overline{\hbox{{j}}}$ คือ เวกเตอร์ 1 หน่วย ชี้ไปตามแกน + y
$\overline{\hbox{{k}}}$ คือ เวกเตอร์ 1 หน่วย ชี้ไปตามแกน + z

การสร้างเวกเตอร์เมื่อทราบพิกัดจุดปลายและจุดตั้งต้นของเวกเตอร์

ในการสร้างเวกเตอร์ เมื่อทราบพิกัดจุดปลายและจุดตั้งต้น ไม่ว่า 2 มิติ หรือ 3 มิติ จะใช้หลัก ปลาย – ตั้งต้น

❤︎ สำหรับเวกเตอร์ใน 2 มิติ
$\overline{\hbox{{u}}}$ // $\overline{\hbox{{v}}}$ เมื่อ $m_\overline{\hbox{{u}}}$ = $m_\overline{\hbox{{v}}}$ (ขนานกัน ความชันเท่า)
$\overline{\hbox{{u}}}$ ⊥ $\overline{\hbox{{v}}}$ เมื่อ $m_\overline{\hbox{{u}}}$ • $m_\overline{\hbox{{v}}}$ = – 1 (ตั้งฉากกัน ผลคูณความชันเป็น – 1)

สมบัติการเท่ากันของเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ และเวกเตอร์ศูนย์

• เวกเตอร์ใน 2 มิติ

• เวกเตอร์ใน 3 มิติ

สมบัติเพิ่มเติมเกี่ยวกับการบวก, ลบเวกเตอร์ใน 2 มิติ และ 3 มิติ

ให้ $\overline{\hbox{{u}}}$ , $\overline{\hbox{{v}}}$ และ $\overline{\hbox{{w}}}$ เป็นเวกเตอร์ใดๆ ใน 2 มิติ หรือ 3 มิติ โดย α , β เป็นจำนวนจริง

α($\overline{\hbox{{u}}}$ ± $\overline{\hbox{{v}}}$) = α$\overline{\hbox{{u}}}$ ± α$\overline{\hbox{{v}}}$
(α ± β)$\overline{\hbox{{u}}}$ = α$\overline{\hbox{{u}}}$ ± β$\overline{\hbox{{u}}}$
|$\overline{\hbox{{u}}}$ + $\overline{\hbox{{v}}}$| ≤ |$\overline{\hbox{{u}}}$| + |$\overline{\hbox{{v}}}$|

ผลคูณเชิงสเกลาร์ (scalar product หรือ dot product)

เมื่อ $\overline{\hbox{{u}}}$ • $\overline{\hbox{{v}}}$ คือ ผลคูณเชิงสเกลาร์ $\overline{\hbox{{u}}}$ และ $\overline{\hbox{{v}}}$ (ผลลัพธ์ที่ได้เป็นสเกลาร์) จะสามารถหาได้ 2 วิธี คือ

วิธีที่ 1

วิธีที่ 2

• สมบัติเกี่ยวกับการ dot vector ใน 2 มิติ และ 3 มิติ

$\overline{\hbox{{i}}}$ • $\overline{\hbox{{i}}}$ = $\overline{\hbox{{j}}}$ • $\overline{\hbox{{j}}}$ = $\overline{\hbox{{k}}}$ • $\overline{\hbox{{k}}}$ = 1
$\overline{\hbox{{i}}}$ • $\overline{\hbox{{j}}}$ = $\overline{\hbox{{j}}}$ • $\overline{\hbox{{k}}}$ = $\overline{\hbox{{i}}}$ • $\overline{\hbox{{k}}}$ = 0 ($\overline{\hbox{{i}}}$ , $\overline{\hbox{{j}}}$ และ $\overline{\hbox{{k}}}$ ตั้งฉากซึ่งกันและกัน)
$\overline{\hbox{{u}}}$ • $\overline{\hbox{{v}}}$ = $\overline{\hbox{{v}}}$ • $\overline{\hbox{{u}}}$ (สมบัติการสลับที่)
m($\overline{\hbox{{u}}}$ • $\overline{\hbox{{v}}}$) = (m$\overline{\hbox{{u}}}$) • $\overline{\hbox{{v}}}$ = $\overline{\hbox{{u}}}$ • (m$\overline{\hbox{{v}}}$)
$\overline{\hbox{{u}}}$ • ($\overline{\hbox{{v}}}$ ± $\overline{\hbox{{w}}}$) = $\overline{\hbox{{u}}}$ • $\overline{\hbox{{v}}}$ ± $\overline{\hbox{{u}}}$ • $\overline{\hbox{{w}}}$ (สมบัติการแจกแจง)
$\overline{\hbox{{u}}}$ • $\overline{\hbox{{u}}}$ = |$\overline{\hbox{{u}}}$|²
ถ้า $\overline{\hbox{{u}}}$ , $\overline{\hbox{{v}}}$ ≠ $\overline{\hbox{{0}}}$ จะได้ว่า $\overline{\hbox{{u}}}$ ตั้งฉากกับ $\overline{\hbox{{v}}}$ ก็ต่อเมื่อ $\overline{\hbox{{u}}}$ • $\overline{\hbox{{v}}}$ = 0

• SPECIAL DOT FORMULA

❤︎ Note
ถ้า |$\overline{\hbox{{u}}}$ + $\overline{\hbox{{v}}}$| = |$\overline{\hbox{{u}}}$ – $\overline{\hbox{{v}}}$| แล้วจะได้ว่า $\overline{\hbox{{u}}}$ ⊥ $\overline{\hbox{{v}}}$ และ $\overline{\hbox{{u}}}$ • $\overline{\hbox{{v}}}$ = 0

Projection vector ใน 2 มิติ และ 3 มิติ

$Proj_\overline{\hbox{{v}}}$ $\overline{\hbox{{u}}}$ คือ Projection ของ $\overline{\hbox{{u}}}$ บน $\overline{\hbox{{v}}}$ ($\overline{\hbox{{v}}}$ เป็นฉาก)

$Proj_\overline{\hbox{{u}}}$ $\overline{\hbox{{v}}}$ คือ Projection ของ $\overline{\hbox{{v}}}$ บน $\overline{\hbox{{u}}}$ ($\overline{\hbox{{u}}}$ เป็นฉาก)

ภาพฉายของจุดบนระนาบต่าง ๆ

ถ้าเราลากเส้นผ่านจุด P(x, y, z) ให้ขนานแกน z ไปตัดกับระนาบ xy จะได้จุดตัดมีพิกัดเป็น Q(x, y, 0) เรียกจุดนี้ว่าเป็นภาพฉายของจุด P บนระนาบ xy

ในทำนองเดียวกันจะเรียกจุด R(0, y, z) ว่าเป็นภาพฉายของ P บนระนาบ yz และเรียกจุด S(x, 0, z) ว่าเป็นภาพฉายของจุด P บนระนาบ xz

สมัครเรียนพิเศษ คอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่ WE BY THE BRAIN คลิกเลย!

การหาจุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุดในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ

ถ้า $\overline{\hbox{{P}}}$ เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด A(x₁ , y₁ , z₁) และจุด B(x₂ , y₂ , z₃) จะได้

การหาจุดตัดของเส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยม ABC ในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ

ถ้า $\overline{\hbox{{C}}}$ เป็นจุดตัดของเส้นมัธยฐาน A(x₁ , y₁ , z₁) และ B(x₂ , y₂ , z₂)

และ C(x₃ , y₃ , z₃) จะได้

การหาระยะห่างระหว่าง 2 จุด

โคไซน์แสดงทิศทาง (direction cosine)

จากรูป $\overline{\hbox{{OP}}}$ = a$\overline{\hbox{{i}}}$ + b$\overline{\hbox{{j}}}$ + c$\overline{\hbox{{k}}}$

โคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์ $\overset{\rightharpoonup}{OP}$ หาได้ดังนี้

เมื่อ α คือ มุมระหว่าง $\overline{\hbox{{OP}}}$  กับ $\overline{\hbox{{i}}}$
β คือ มุมระหว่าง $\overline{\hbox{{OP}}}$  กับ $\overline{\hbox{{j}}}$
γ คือ มุมระหว่าง $\overline{\hbox{{OP}}}$  กับ $\overline{\hbox{{k}}}$

❤︎ เกร็ดความจริง! เกี่ยวกับโคไซน์แสดงทิศทาง

ถ้า α , β , γ เป็นมุมระบุทิศทางของเวกเตอร์
จะได้ว่า cos²α + cos²β + cos²γ = 1
ถ้าเวกเตอร์คู่ใดมีโคไซน์แสดงทิศทางชุดเดียวกัน แสดงว่า เวกเตอร์คู่นั้นมีทิศเดียวกัน ถ้าเวกเตอร์คู่ใดมีโคไซน์แสดงทิศทางในแต่ละแกนเป็นจำนวนที่ตรงข้ามกัน แสดงว่าเวกเตอร์คู่นั้นมีทิศทางตรงข้ามกัน

ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (cross product หรือ vector product)

• การหาผลคูณเชิงเวกเตอร์

$\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{v}}}$ คือ การหาผลคูณเชิงเวกเตอร์ $\overline{\hbox{{u}}}$ กับ $\overline{\hbox{{v}}}$ (ผลลัพท์ที่ได้เป็นเวกเตอร์)

ทิศทางของเวกเตอร์ผลลัพธ์จากการ cross product

ขั้นตอนการหาทิศของ cross product

น้อง ๆ สามารถหาทิศทางของ $\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{v}}}$ และ $\overline{\hbox{{v}}}$ × $\overline{\hbox{{u}}}$ ได้โดยใช้กฎมือขวา

ขั้นที่ 1

แบมือขวาออกโดยให้นิ้วทั้งสี่ (นอกจากนิ้วหัวแม่มือ) ชี้ไปทางเดียวกัน และให้นิ้วหัวแม่มือตั้งฉากกับนิ้วอื่น ๆ

ขั้นที่ 2

ถ้าตอนแรกพุ่งนิ้วทั้งสี่ตามทิศของ $\overline{\hbox{{u}}}$ แล้วพับนิ้วทั้งสี่เข้าหาทิศของ $\overline{\hbox{{v}}}$ นิ้วหัวแม่มือจะชี้ทิศของ $\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{v}}}$
ถ้าตอนแรกพุ่งนิ้วทั้งสี่ตามทิศของ $\overline{\hbox{{v}}}$ แล้วพับนิ้วทั้งสี่เข้าหาทิศของ $\overline{\hbox{{u}}}$ นิ้วหัวแม่มือจะชี้ทิศของ $\overline{\hbox{{v}}}$ × $\overline{\hbox{{u}}}$

❤︎ จากการสังเกต

จะเห็นว่า $\overline{\hbox{{u}}}$ และ $\overline{\hbox{{v}}}$ เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ขนานกัน

จะได้ว่า $\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{v}}}$ และ $\overline{\hbox{{v}}}$ × $\overline{\hbox{{u}}}$ เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่าน $\overline{\hbox{{u}}}$ และ $\overline{\hbox{{v}}}$

(พูดง่าย ๆ $\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{v}}}$ ตั้งฉากกับ $\overline{\hbox{{u}}}$ , $\overline{\hbox{{v}}}$ และ $\overline{\hbox{{v}}}$ × $\overline{\hbox{{u}}}$ ตั้งฉากกับ $\overline{\hbox{{u}}}$ , $\overline{\hbox{{v}}}$)

และจะเห็นว่า $\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{v}}}$ และ $\overline{\hbox{{v}}}$ × $\overline{\hbox{{u}}}$ มีทิศทางตรงข้ามกัน

ดังนั้น $\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{v}}}$ = – ($\overline{\hbox{{v}}}$ × $\overline{\hbox{{u}}}$)

❤︎ เกร็ดความจริง
ถ้า $\overline{\hbox{{u}}}$ , $\overline{\hbox{{v}}}$ และ $\overline{\hbox{{w}}}$ เป็นเวกเตอร์ที่อยู่บนระนาบเดียวกัน แล้ว $\overline{\hbox{{u}}}$ • ($\overline{\hbox{{v}}}$ × $\overline{\hbox{{w}}}$) = 0

การหาขนาดของ $\overline{\hbox{{u}}}$ x $\overline{\hbox{{v}}}$

ให้ $\overline{\hbox{{u}}}$ และ $\overline{\hbox{{v}}}$ เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ โดย $\overline{\hbox{{u}}}$ ≠ $\overline{\hbox{{0}}}$ และ $\overline{\hbox{{v}}}$ ≠ $\overline{\hbox{{0}}}$ จะได้ว่า |$\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{v}}}$| = |$\overline{\hbox{{u}}}$||$\overline{\hbox{{v}}}$| sinθ เมื่อ θ เป็นขนาดของมุมระหว่าง $\overline{\hbox{{u}}}$ และ $\overline{\hbox{{v}}}$ โดยที่ 0° ≤ θ ≤ 180°

สมบัติเกี่ยวกับการ cross vector

ให้ $\overline{\hbox{{u}}}$ , $\overline{\hbox{{v}}}$ และ $\overline{\hbox{{w}}}$ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในสามมิติ และ $\overline{\hbox{{m}}}$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ

$\overline{\hbox{{i}}}$ × $\overline{\hbox{{j}}}$ = $\overline{\hbox{{k}}}$ , $\overline{\hbox{{j}}}$ × $\overline{\hbox{{i}}}$ = – $\overline{\hbox{{k}}}$
$\overline{\hbox{{j}}}$ × $\overline{\hbox{{k}}}$ = $\overline{\hbox{{i}}}$ , $\overline{\hbox{{k}}}$ × $\overline{\hbox{{j}}}$ = – $\overline{\hbox{{i}}}$
$\overline{\hbox{{k}}}$ × $\overline{\hbox{{i}}}$ = $\overline{\hbox{{j}}}$ , $\overline{\hbox{{i}}}$ × $\overline{\hbox{{k}}}$ = – $\overline{\hbox{{j}}}$
$\overline{\hbox{{i}}}$ × $\overline{\hbox{{i}}}$ = $\overline{\hbox{{0}}}$
$\overline{\hbox{{j}}}$ × $\overline{\hbox{{j}}}$ = $\overline{\hbox{{0}}}$
$\overline{\hbox{{k}}}$ × $\overline{\hbox{{k}}}$ = $\overline{\hbox{{0}}}$
$\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{v}}}$ = – ($\overline{\hbox{{v}}}$ × $\overline{\hbox{{u}}}$)
$\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{u}}}$ = $\overline{\hbox{{0}}}$
(r$\overline{\hbox{{u}}}$) × (s$\overline{\hbox{{v}}}$) = rs($\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{v}}}$)
m($\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{v}}}$) = (m$\overline{\hbox{{u}}}$) × $\overline{\hbox{{v}}}$ = $\overline{\hbox{{u}}}$ × (m$\overline{\hbox{{v}}}$)
$\overline{\hbox{{u}}}$ × ($\overline{\hbox{{v}}}$ ± $\overline{\hbox{{w}}}$) = $\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{v}}}$ ± $\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{w}}}$
($\overline{\hbox{{u}}}$ ± $\overline{\hbox{{v}}}$) × $\overline{\hbox{{w}}}$ = $\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{w}}}$ ± $\overline{\hbox{{v}}}$ × $\overline{\hbox{{w}}}$
$\overline{\hbox{{u}}}$ • ($\overline{\hbox{{v}}}$ × $\overline{\hbox{{w}}}$) = ($\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{v}}}$) • $\overline{\hbox{{w}}}$
($\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{v}}}$) • $\overline{\hbox{{w}}}$ = ($\overline{\hbox{{v}}}$ × $\overline{\hbox{{w}}}$) • $\overline{\hbox{{u}}}$ = ($\overline{\hbox{{w}}}$ × $\overline{\hbox{{u}}}$) • $\overline{\hbox{{v}}}$

การใช้เวกเตอร์ในการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พื้นที่ ◻ ด้านขนาน = ฐาน × สูง
= |$\overline{\hbox{{u}}}$||$\overline{\hbox{{v}}}$|sinθ

พื้นที่ ◻ ด้านขนาน = |$\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{v}}}$|

❤︎ ข้อสังเกต

พื้นที่ ∆ ที่แรเงา = $\frac{1}{2}$ พื้นที่ ◻ ด้านขนาน

พื้นที่ ∆ ที่แรเงา = $\frac{1}{2}$ |$\overline{\hbox{{u}}}$ × $\overline{\hbox{{v}}}$|

การใช้เวกเตอร์ในการหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ปริมาตร = พื้นที่ฐาน × สูง
= |$\overline{\hbox{{v}}}$ × $\overline{\hbox{{w}}}$||$\overline{\hbox{{u}}}$||cosθ|
= |$\overline{\hbox{{u}}}$||$\overline{\hbox{{v}}}$ × $\overline{\hbox{{w}}}$||cosθ|
= ||$\overline{\hbox{{u}}}$||$\overline{\hbox{{v}}}$ × $\overline{\hbox{{w}}}$|cosθ|
ปริมาตร = |$\overline{\hbox{{u}}}$ • ($\overline{\hbox{{v}}}$ × $\overline{\hbox{{w}}}$)|

กำหนดทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานมี $\overline{\hbox{{u}}}$ , $\overline{\hbox{{v}}}$ และ $\overline{\hbox{{w}}}$ เป็นด้าน

และถ้า $\overline{\hbox{{u}}}$ , $\overline{\hbox{{v}}}$ และ $\overline{\hbox{{w}}}$ อยู่บนระนาบเดียวกัน
สามารถอ้างได้ว่า ปริมาตร = 0 (|$\overset{\rightharpoonup}{u}$ • ($\overset{\rightharpoonup}{v}$ × $\overset{\rightharpoonup}{w}$)| = 0)

ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย พร้อมเฉลย วิชาคณิตศาสตร์ - เวกเตอร์

เอาล่ะ! หลังจากทบทวนเนื้อหาและเช็กจุดสำคัญของบทเวกเตอร์ ม.5 กันแล้ว พี่มี ตัวอย่างข้อสอบสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ บทเวกเตอร์ มาให้น้อง ๆ ได้เรียนรู้แนวโจทย์และวิธีแก้โจทย์กันด้วยครับ

• ข้อสอบคณิตศาสตร์ บทเวกเตอร์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 1

• ข้อสอบคณิตศาสตร์ บทเวกเตอร์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 2

• ข้อสอบคณิตศาสตร์ บทเวกเตอร์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 3

• ข้อสอบคณิตศาสตร์ บทเวกเตอร์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 4

• ข้อสอบคณิตศาสตร์ บทเวกเตอร์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 5

จบกันไปแล้วนะครับ กับ สรุปเนื้อหาเวกเตอร์ ม.5 อย่างที่พี่ได้บอกไว้ในตอนต้นบทความว่า ถ้าน้อง ๆ อยากจะเรียนบทเวกเตอร์ให้เข้าใจและทำข้อสอบได้ ก็ต้องเริ่มจากการทำความเข้าใจนิยามและความรู้พื้นฐาน รวมทั้งฝึกทำโจทย์เยอะ ๆ เพื่อเพิ่มความชำนาญในการทำข้อสอบด้วย

สำหรับน้อง ๆ ที่เรียนบทเวกเตอร์ไม่เข้าใจ หรืออยากจะติวเสริมเพิ่มความมั่นใจไปอีกขั้น พี่ขอแนะนำ คอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย – บทเวกเตอร์ ที่ สรุปเนื้อหาแบบกระชับ เข้าใจง่าย พาตะลุยโจทย์ให้ได้ฝึกฝนทำข้อสอบหลากหลายแนว พร้อมเรียนรู้เทคนิคทริกลัดช่วยให้แก้โจทย์ได้ไวขึ้น ใครอยากคว้าเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ หรือต้องการปูความรู้พื้นฐานสำหรับการสอบเข้ามหาวิทยาลัยในสนามสอบ TCAS ห้ามพลาดเด็ดขาดเลย!